Continuité des Fonctions (2BAC & Terminale) : Cours et Quiz Corrigé

La Continuité (Partie 2) : Fonction Composée et Image d'un Intervalle - 2BAC

Ce cours est destiné aux élèves de la 2ème année du Baccalauréat (Sciences Mathématiques, Sciences Expérimentales). Il aborde la continuité d'une fonction composée ainsi que le théorème fondamental de l'image d'un intervalle par une fonction continue.

1. Continuité d'une Fonction Composée

Définition :
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) telles que \(f(I) \subset J\). La fonction composée, notée \(g \circ f\), est définie sur \(I\) par : $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$

Théorème de continuité :

• Si la fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), et que la fonction \(g\) est continue sur l'intervalle \(J\) (avec \(f(I) \subset J\)), alors la fonction composée \(g \circ f\) est continue sur \(I\).

Exemple d'application :
Étudions la continuité de la fonction \(h(x) = \sin(x^2 + 3x + 1)\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(f(x) = x^2 + 3x + 1\) est une fonction polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(g(x) = \sin(x)\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Par conséquent, la fonction composée \(h = g \circ f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

2. Image d'un Intervalle par une Fonction Continue

Théorème fondamental :
L'image d'un intervalle \(I\) par une fonction \(f\) continue est toujours un intervalle \(J = f(I)\).

Cas particulier des fonctions continues et strictement monotones :

Intervalle \(I\)	Si \(f\) est strictement CROISSANTE	Si \(f\) est strictement DÉCROISSANTE
\([a, b]\)	\([f(a), f(b)]\)	\([f(b), f(a)]\)
\([a, b[\)	\(\left[f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\)	\(\left[\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]\)
\(]a, b[\)	\(\left[\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\)	\(\left[\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\right[\)

Exemple :
Soit \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([-2, 3]\).
Sur \([0, 3]\), \(f\) est croissante, et sur \([-2, 0]\), \(f\) est décroissante.
L'image de l'intervalle \([-2, 3]\) par \(f\) est \(f([-2, 3]) = [0, 9]\) (car \(f(0)=0\), \(f(-2)=4\) et \(f(3)=9\)).

Quiz d'évaluation : Continuité (Partie 2)

Testez vos connaissances sur la fonction composée et l'image des intervalles.

Nom et Prénom :

Établissement :

1. Soit \(f\) continue sur \(I\) et \(g\) continue sur \(J\). La fonction \(g \circ f\) est-elle continue sur \(I\) ?

Oui, toujours (si \(f(I) \subset J\)) Non, jamais

2. L'image d'un intervalle par une fonction continue est toujours :

Un nombre réel Un intervalle Une fonction

3. La fonction \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car :

C'est une fonction composée de deux fonctions continues Ce n'est pas une fonction continue

4. Si \(f\) est strictement croissante sur \([a, b]\), que vaut \(f([a, b])\) ?

\([f(a), f(b)]\) \([f(b), f(a)]\) \(]f(a), f(b)[\)

5. Si \(f\) est strictement décroissante sur \([a, b]\), que vaut \(f([a, b])\) ?

\([f(a), f(b)]\) \([f(b), f(a)]\)

6. Quelle est l'image de l'intervalle \([0, 2]\) par la fonction \(f(x) = 3x + 1\) ?

\([1, 7]\) \([0, 2]\) \([3, 7]\)

7. La fonction \(f(x) = \cos(\sqrt{x})\) est définie et continue sur :

\(\mathbb{R}\) \([0, +\infty[\) \(]0, +\infty[\)

8. Si \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]0, 1]\), avec \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -2\) et \(f(1) = 4\), que vaut \(f(]0, 1])\) ?

\([-2, 4]\) \(]-2, 4]\) \([-2, 4[\)

9. La composée de deux fonctions continues est-elle toujours continue sur son domaine de définition ?

Oui Non

10. Soit \(f(x) = x^2\) sur \([-1, 2]\). Quel est l'ensemble \(f([-1, 2])\) ?

\([0, 4]\) \([1, 4]\) \([-1, 4]\)

Bilan d'Évaluation - Continuité Partie 2

Ressources complémentaires de soutien scolaire : www.bacenpoche.com

Conclusion & En savoir plus

La maîtrise de la continuité des fonctions composées et de l'image des intervalles est indispensable pour aborder le théorème des valeurs intermédiaires. Pour approfondir vos révisions et accéder à des exercices corrigés conformes au programme marocain, visitez le site de Bac en Poche.