Continuité des Fonctions (2BAC & Terminale) : Cours et Quiz Corrigé

Généralités sur les Fonctions (Partie 3) : Composée de Deux Fonctions - 1BAC Sciences

Ce cours est destiné aux élèves de la 1ère année du Baccalauréat (Filières Scientifiques : Sciences Expérimentales, STE, STM). Il aborde la notion fondamentale de la composition de deux fonctions, sa définition rigoureuse et l'étude de sa monotonie.

IV- Composée de deux fonctions

4-1/ Vocabulaire

Principe de la composition :
Composer deux fonctions, c'est les enchaîner. On applique une première fonction \(f\) à un nombre \(x\, \), puis on applique une seconde fonction \(g\) au résultat obtenu \(f(x)\). Le résultat final est noté \(g(f(x))\). L'ordre est primordial : dans l'écriture \(g \circ f\), on applique d'abord \(f\) puis \(g\).

4-2/ Définition

Définition :
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) telles que \(f(I) \subset J\) (c'est-à-dire que pour tout \(x \in I\), \(f(x) \in J\)).
La fonction composée de \(f\) par \(g\), notée \(g \circ f\) (qui se lit "\(g rond f\)"), est la fonction définie sur \(I\) par : $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$

Exemple d'application :
Soient les fonctions \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = \sqrt{x}\).
Déterminer l'expression de \((g \circ f)(x)\) et son domaine de définition.
Solution : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + 1 \ge 1 > 0\), donc \(f(\mathbb{R}) \subset [0, +\infty[\). La fonction \(g \circ f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}\) par : $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = \sqrt{x^2 + 1} $$

4-3/ Monotonie de fonctions composées

Théorème de monotonie :
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) avec \(f(I) \subset J\). Soit \(g \circ f\) la fonction composée définie sur \(I\).

• Si \(f\) et \(g\) ont la même monotonie (toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes), alors la fonction composée \(g \circ f\) est strictement croissante sur \(I\).
• Si \(f\) et \(g\) ont des monotonies contraires (l'une est croissante et l'autre est décroissante), alors la fonction composée \(g \circ f$ est strictement décroissante sur \(I\).

Monotonie de \(f\) sur \(I\)	Monotonie de \(g\) sur \(f(I)\)	Monotonie de \(g \circ f\) sur \(I\)
Croissante	Croissante	Croissante
Décroissante	Décroissante	Croissante
Croissante	Décroissante	Décroissante
Décroissante	Croissante	Décroissante

Exemple d'étude de monotonie :
Étudions la monotonie de la fonction \(h(x) = \sqrt{-x + 3}\) sur l'intervalle \(I = ]-\infty, 3]\).
On peut voir \(h\) comme la composée \(g \circ f\) avec :

• \(f(x) = -x + 3\), qui est affine avec un coefficient négatif (\(-1\)), donc strictement décroissante sur \(]-\infty, 3]\). L'image de \(I\) par \(f\) est \(J = [0, +\infty[\).
• \(g(x) = \sqrt{x}\), qui est strictement croissante sur \([0, +\infty[\).

Puisque \(f\) est décroissante et \(g\) est croissante (monotonies contraires), la fonction composée \(h = g \circ f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 3]\).

Quiz d'évaluation : Composée de Deux Fonctions (1BAC)

Testez vos connaissances sur la définition, l'ordre des fonctions et l'étude de la monotonie des composées.

Nom et Prénom :

Établissement :

1. Que signifie l'écriture \((g \circ f)(x)\) ?

\(f(g(x))\) \(g(f(x))\) \(f(x) \times g(x)\)

2. Soient \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = x^2\). Que vaut \((g \circ f)(3)\) ?

11 25 11

3. Pour que la fonction composée \(g \circ f\) soit définie, quelle condition doit être vérifiée ?

L'image de l'intervalle de définition de \(f\) doit être incluse dans le domaine de \(g\) (\(f(I) \subset J\)) \(f\) et \(g\) doivent être impaires toutes les deux \(f\) et \(g\) doivent être égales

4. Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\) et \(g\) est strictement croissante sur \(f(I)\), que dire de \(g \circ f\) ?

Strictement décroissante Strictement croissante Constante

5. Si \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) et \(g\) est strictement croissante sur \(f(I)\), que dire de \(g \circ f\) ?

Strictement croissante Strictement décroissante Ni l'un ni l'autre

6. Soient \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = x - 5\). Quelle est l'expression de \((f \circ g)(x)\) ?

\(2x - 5\) \(2(x - 5) = 2x - 10\) \(2x^2 - 5\)

7. La composition de deux fonctions est-elle commutative (c'est-à-dire a-t-on toujours \(g \circ f = f \circ g\)) ?

Oui, toujours Non, en général pas du tout

8. Si \(f\) et \(g\) sont toutes les deux strictement décroissantes, que dire de \(g \circ f\) ?

Strictement croissante Strictement décroissante

9. Soit \(h(x) = (2x + 1)^4\). On peut l'écrire sous forme de composée \(g \circ f\) avec \(f(x) = 2x + 1\). Que vaut \(g(x)\) ?

\(x^4\) \(4x\) \(2x^4 + 1\)

10. Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\) et \(g\) est strictement décroissante sur \(f(I)\), que dire de \(g \circ f\) ?

Strictement croissante Strictement décroissante

Bilan d'Évaluation - Composée de Deux Fonctions

Ressources complémentaires de soutien scolaire : www.bacenpoche.com

Conclusion & En savoir plus

La maîtrise de la composition des fonctions est un outil puissant en analyse mathématique, indispensable pour l'étude des fonctions composées et le calcul de leurs dérivées. Pour approfondir vos révisions et accéder à des exercices corrigés conformes au programme marocain, visitez le site de Bac en Poche.