Continuité des Fonctions (2BAC & Terminale) : Cours et Quiz Corrigé

Étude et Représentation Graphique de Fonctions Usuelles : \(ax^3\) et \(\sqrt{x+a}\) - 1BAC Sciences

Ce cours est destiné aux élèves de la 1ère année du Baccalauréat (Filières Scientifiques : Sciences Expérimentales, STE, STM). Il détaille l'étude complète et la représentation graphique de deux fonctions de référence : la fonction puissance cubique \(f(x) = ax^3\) et la fonction racine carrée translatée \(f(x) = \sqrt{x+a}\).

5-1/ Fonction \(f(x) = ax^3\) (\(a \neq 0\))

Propriétés générales :

• Domaine de définition : La fonction est définie sur \(\mathbb{R}\).
• Parité : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(-x) = a(-x)^3 = -ax^3 = -f(x)\). C'est une fonction impaire. Sa courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est donc symétrique par rapport à l'origine du repère \(O(0,0)\).

Variations et Monotonie :
Le sens de variation dépend du signe du coefficient \(a\) :

• Si \(a > 0\) : La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a < 0\) : La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

5-2/ Fonction \(f(x) = \sqrt{x+a}\)

Domaine de définition :
L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle. Le domaine de définition \(D_f\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que : $$ x + a \ge 0 \iff x \ge -a $$ Ainsi, \(D_f = [-a, +\infty[\).

Variations et Représentation Graphique :

• Monotonie : La fonction \(x \mapsto \sqrt{x+a}\) est strictement croissante sur son domaine de définition \([-a, +\infty[\).
• Représentation graphique : La courbe de \(f(x) = \sqrt{x+a}\) s'obtient à partir de la courbe de référence \(g(x) = \sqrt{x}\) par une translation de vecteur \(-a\vec{i}\). Elle admet un point de départ d'abscisse \(-a\) et d'ordonnée \(0\).

Exemple d'application :
Étudions la fonction \(h(x) = \sqrt{x - 2}\).
1. Domaine de définition : \(x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2\), donc \(D_h = [2, +\infty[\).
2. Variations : \(h\) est la composition de la fonction affine \(x \mapsto x - 2\) (croissante) et de la fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) (croissante). Par conséquent, \(h\) est strictement croissante sur \([2, +\infty[\).

Quiz d'évaluation : Fonctions \(ax^3\) et \(\sqrt{x+a}\) (1BAC)

Testez vos connaissances sur les domaines de définition, la parité et le sens de variation de ces fonctions.

Nom et Prénom :

Établissement :

1. Quel est le domaine de définition de la fonction \(f(x) = -5x^3\) ?

\([0, +\infty[\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

2. La fonction \(f(x) = 4x^3\) est-elle paire ou impaire ?

Paire Impaire Ni paire ni impaire

3. Quel est le sens de variation de la fonction \(f(x) = -2x^3\) sur \(\mathbb{R}\) ?

Strictement croissante Strictement décroissante Constante

4. Quelle est la symétrie de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = ax^3\) (\(a \neq 0\)) ?

Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Symétrique par rapport à l'origine \(O\) Symétrique par rapport à l'axe des abscisses

5. Quel est le domaine de définition de la fonction \(g(x) = \sqrt{x + 4}\) ?

\([-4, +\infty[\) \([4, +\infty[\) \(\mathbb{R} \setminus \{-4\}\)

6. Quel est le sens de variation de la fonction \(g(x) = \sqrt{x + 4}\) sur son domaine ?

Strictement décroissante Strictement croissante Non monotone

7. Quel est le domaine de définition de la fonction \(h(x) = \sqrt{3 - x}\) ?

\([3, +\infty[\) \(]-\infty, 3]\) \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

8. Si \(a > 0\), que fait la fonction \(f(x) = ax^3\) sur l'intervalle \([0, +\infty[\) ?

Elle est strictement croissante Elle est strictement décroissante

9. Quel est le point de départ de la courbe de la fonction \(f(x) = \sqrt{x - 5}\) ?

\((5, 0)\) \((-5, 0)\) \((0, 5)\)

10. La fonction \(f(x) = \sqrt{x+2}\) est-elle majorée sur son domaine de définition ?

Oui Non

Bilan d'Évaluation - Fonctions \(ax^3\) et \(\sqrt{x+a}\)

Ressources complémentaires de soutien scolaire : www.bacenpoche.com

Conclusion & En savoir plus

L'étude rigoureuse des fonctions \(ax^3\) et \(\sqrt{x+a}\) permet de maîtriser les transformations de courbes et l'analyse de fonctions de référence en classe de 1BAC. Pour approfondir vos révisions et accéder à des séries d'exercices corrigés conformes au programme marocain, visitez le site de Bac en Poche.