Continuité des Fonctions (2BAC & Terminale) : Cours et Quiz Corrigé

Généralités sur les Fonctions (Rappels) : 1BAC Sciences (Exp, STE, STM)

Ce cours est destiné aux élèves de la 1ère année du Baccalauréat (Filières Scientifiques : Sciences Expérimentales, Sciences et Technologies Électrotechniques - STE, Sciences et Technologies Mécaniques - STM). Il constitue un rappel indispensable sur les fonctions numériques, leur parité, leur monotonie et le taux d'accroissement.

1-1/ Fonction numérique

Définition :
Soit \(D\) une partie de l'ensemble \(\mathbb{R}\). Une fonction numérique \(f\) définie sur \(D\) est un processus qui associe à chaque nombre réel \(x\) de \(D\) un unique nombre réel, noté \(f(x)\).
L'ensemble \(D\) est appelé le domaine de définition de la fonction \(f\).

Exemple :
Soit la fonction \(f(x) = \frac{2x}{x - 3}\). Le domaine de définition \(D_f\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que le dénominateur soit non nul, soit \(x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3\).
Ainsi, \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty, 3[ \cup ]3, +\infty[\).

1-2/ Fonction paire – fonction impaire

Définitions :
Soit \(f\) une fonction numérique dont le domaine de définition \(D\) est centré en \(0\) (c'est-à-dire que pour tout \(x \in D\), on a \(-x \in D\)).

• La fonction \(f\) est dite paire si pour tout \(x \in D\) : $$ f(-x) = f(x) $$ Interprétation graphique : La courbe représentative de \(f\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• La fonction \(f\) est dite impaire si pour tout \(x \in D\) : $$ f(-x) = -f(x) $$ Interprétation graphique : La courbe représentative de \(f\) est symétrique par rapport à l'origine du repère \(O\).

Exemples :

• \(f(x) = x^2\) est définie sur \(\mathbb{R}\). On a \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\), donc \(f\) est paire.
• \(g(x) = x^3\) est définie sur \(\mathbb{R}\). On a \(g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)\), donc \(g\) est impaire.

1-3/ Monotonie d’une fonction numérique

Définitions :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

• \(f\) est dite strictement croissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a : $$ f(x_1) < f(x_2) $$ (La fonction conserve l'ordre).
• \(f\) est dite strictement décroissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a : $$ f(x_1) > f(x_2) $$ (La fonction inverse l'ordre).
• \(f\) est dite constante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(f(x_1) = f(x_2)\).

1-4/ Taux d’accroissement d’une fonction f

Définition :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux éléments distincts de \(I\) (\(x_1 \neq x_2\)). Le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est le nombre réel \(T\) défini par : $$ T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$

Lien entre le taux d'accroissement et la monotonie :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Soit \(T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\) pour \(x_1 \neq x_2\) dans \(I\) :

• Si pour tous \(x_1 \neq x_2\), \(T > 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
• Si pour tous \(x_1 \neq x_2\), \(T < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

Exemple d'application :
Étudions la monotonie de \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0, +\infty[\).
Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux réels distincts de \([0, +\infty[\). Calculons le taux d'accroissement \(T\) : $$ T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_2 - x_1} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_2 - x_1} = x_2 + x_1 $$ Puisque \(x_1 \ge 0\) et \(x_2 \ge 0\), on a \(x_1 + x_2 > 0\) (si \(x_1 \neq x_2\)), donc \(T > 0\).
La fonction \(f$ est donc strictement croissante sur \([0, +\infty[\).

Quiz d'évaluation : Généralités sur les Fonctions (1BAC)

Testez vos connaissances sur le domaine de définition, la parité, la monotonie et le taux d'accroissement.

Nom et Prénom :

Établissement :

1. Quel est le domaine de définition de la fonction \(f(x) = \frac{1}{x - 5}\) ?

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\) \(\mathbb{R}\) \(]5, +\infty[\)

2. Si une fonction \(f\) est paire, quelle relation vérifie-t-elle pour tout \(x\) de son domaine ?

\(f(-x) = -f(x)\) \(f(-x) = f(x)\) \(f(-x) = \frac{1}{f(x)}\)

3. Quelle est la symétrie graphique d'une fonction impaire ?

Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Symétrique par rapport à l'origine du repère \(O\) Symétrique par rapport à l'axe des abscisses

4. La fonction \(f(x) = 3x^3 - x\) est-elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre ?

Paire Impaire Ni paire ni impaire

5. Quelle est la formule du taux d'accroissement \(T\) d'une fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) (\(x_1 \neq x_2\)) ?

\(T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\) \(T = \frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)}\) \(T = \frac{f(x_2) + f(x_1)}{x_2 + x_1}\)

6. Si pour tous \(x_1 \neq x_2\) dans un intervalle \(I\), le taux d'accroissement \(T < 0\), que peut-on dire de \(f\) sur \(I\) ?

Strictement croissante Strictement décroissante Constante

7. La fonction \(f(x) = |x|\) est-elle paire sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui Non

8. Soit \(f\) une fonction strictement croissante sur un intervalle \(I\). Si \(x_1 < x_2\) dans \(I\), alors :

\(f(x_1) > f(x_2)\) \(f(x_1) < f(x_2)\) \(f(x_1) = f(x_2)\)

9. Quel est le domaine de définition de la fonction \(g(x) = \sqrt{x - 2}\) ?

\([2, +\infty[\) \(]-\infty, 2]\) \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

10. Si le taux d'accroissement \(T\) d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est calculé, que vaut \(T\) ?

\(a\) \(b\) \(ax\)rit

Bilan d'Évaluation - Généralités sur les Fonctions

Ressources complémentaires de soutien scolaire : www.bacenpoche.com

Conclusion & En savoir plus

La maîtrise de ces rappels fondamentaux sur les fonctions est essentielle pour aborder sereinement les chapitres de dérivation et d'étude de fonctions en 1BAC. Pour approfondir vos révisions et accéder à des exercices corrigés conformes au programme marocain, visitez le site de Bac en Poche.